19.★(本小題滿分10分)已知數列{a_n}、{b_n}都是無窮等差數列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂與a₃的等差中項,且.求極限的值.

分析 首先需求出a_n、b_n的表達式,以確定所求極限的表達式,為此,關鍵在于求出兩個數列的公差,“b₂是a₂與a₃的等差中項”已給出一個等量關系,“a_n與b_n之比的極限為”又給出了另一個等量關系,故可考慮先設出公差用二元方程組求解.

解 設{a_n}、{b_n}的公差分別為d₁、d₂,

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d1),

∴2d₂-3d₁=2.①　　 2分

又

即d₂=2d₁,②　　　 4分

聯立①②解得d₁=2,d₂=4.

∴a_n=a₁+(n-1)d₁=3+(n-1)·2=2n+1,

b_n=b₁+(n-1)d₂=2+(n-1)·4=4n-2.　　 6分

10分

18.(本小題滿分10分)已知數列{a_n}、{b_n},其中a_n=1+3+5+…+(2n+1),bn=2ⁿ+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數n,使得a_n≤b_n成立？

分析 對n賦值后,比較幾對a_n與b_n的大小,可作出合理猜測,再用數學歸納法予以證明.

解 a_n=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²,

當n=5時,a₅=36,b₅=2⁵+4=36,此時a₅=b₅;

當n=6時, a₆=49,b₆=2⁶+4=68,此時a₆<b₆;

當n=7時,a₇=64,b₇=2⁷+4=132,此時a₇<b₇;

當n=8時,a₈=81,b₈=2⁸+4=260,此時a₈<b₈.

猜想:當n≥6時,有a_n<b_n.　　　　 3分

下面用數學歸納法證明上述猜想.

①當n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式a_n<b_n成立;

②假設當n=k(k≥6)時,不等式成立,即a_k<b_k,也即(k+1)²<2k+4;當n=k+1時，b_k+1=2^k+1+4=2(2^k+4)-4>2(k+1)²-4=2k²+4k-2,

而(2k²+4k-2)-(k+2)²=k²-6>0(∵k≥6,∴k²＞6),

即2k²+4k-2>(k+2)²=［(k+1)+1］².

由不等式的傳遞性,知b_k+1>［(k+1)+1］²=a_k+1.

∴當n=k+1時,不等式也成立.　　 8分

由①②可知,對一切n∈N,且n≥6,都有a_n<b_n.

綜上所述,可知只有當n=5時,a_n=b_n;當n≥6時,a_n＜b_n.因此存在使a_n≤b_n成立的自然數n.

10分

17.(本小題滿分8分)某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時開放健身房和娛樂室.據調查統計,每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,則在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時間的推移,去健身房的人數能否趨于穩定?

分析 本題考查用數列的遞推公式求通項及數列的極限.

解 設第n次去健身房的人數為a_n,去娛樂室的人數為b_n,則a_n+b_n=150,　　　　　　　 2分

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

即a_n=a_n-1+30.　　　　　　　　　 4分

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)·()^n-1,即a_n=100+()^n-1·(a₁-100).　 6分

∴a_n=100.故隨著時間的推移,去健身房的人數穩定在100人左右.　　　　　　　 8分